Angewandte Tensorrechnung: Für Ingenieure, Physiker und by Horst Lippmann

By Horst Lippmann

Die Tensorrechnung ist ein formaler, programmierbarer Kalk?l von speziellem Nutzen in der angewandten Mathematik, in der theoretischen Physik und in den theoretisch oder numerisch orientierten Ingenieurwissenschaften. Hier lernt guy fr?hzeitig, beispielsweise mit mechanischen Spannungen und Verformungen in festen, fl?ssigen oder gasf?rmigen K?rpern sowie mit Tr?gheitsmomenten, Fl?chenkr?mmungen und anderen Gr??en umzugehen, welche sogar dann Tensoren sind, wenn guy es verschweigt. Die Kristallkunde beruht in ganz besonderem Ma?e auf der Tensorrechnung, und viele numerische Methoden der Kontinuumsphysik werden erst bei tensorieller Darstellung durchsichtig. Dieses Lehrbuch ist als Einf?hrung zu verstehen, und zwar f?r Ingenieure, Physiker oder angewandte Mathematiker. Es beruht auf einer Vorlesung f?r Studenten h?herer Semester und setzt Vorkenntnisse entsprechend den ?blichen Lehrveranstaltungen in Mathematik und Mechanik voraus. Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Den einzelnen Kapiteln sind ?bungsaufgaben angef?gt, die teilweise aufeinander aufbauen. Ihre L?sungen werden gesondert zusammengefa?t.

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T=T···ll··· I . k I I k uii···=T···k;··gll ~ ... uii ... ;"···u . I k' T=T···ll··· ·· · u. =T··· I··· )I··· · · ·· al 1 , k1 .. )I·.. =T··· I k' I··· I . u, . k1 ... 2/5) ist fürDiedieZiehregel Tensoreigenschaft notwendig und hinreichend. 1 formulierte Ziel in bezug auf Tensoren erreicht: Man kann ihre Invarianz, das heißt die Koordinatenunabhängigkeit ihrer linearen Abbildung, selbst dann feststellen, wenn man nur ihre Koordinaten kennt. 3/19) bzw. 2/3: Ein Tensor verhält sich bei der Koordinatentransformation und bei der Bildung vertikaler Isomeren hinsichtlich jedes einzelnen seiner Koordinatenindizes wie ein Vektor.

2/4). 5/1 folgt außerdem für das von n beliebigen Vektoren ~, ... , ~ aufgespannte Volumen sowie für jede ganze Zahl p, 1 ::;; p ::;; n, die Beziehung p-1 p+ 1 n )p i } _ { k1... kn 1 V {u - e uk 1 . . u kp- 1 u kp+ 1 ... ukn ukp 1 =(-1)n-p(ek1···kp-1kp+1···knkp~ k1 · · · PÜ kp-1 p~1kp+1 • • • ~ kn )~ kp _ 1 p-1 p+l n p =(-1t P([u, ... ,u, u, ... ,u],u); p=1, ... ,n. 50 3 Tensoren Die rechtsseitige rund eingeklammerte Kombination aus Vektorprodukt und Skalarpodukt wird Spatprodukt genannt. Speziell für ~ = gi gilt, da es nur eine einzige senkrechte Richtung zu g 1 , .

Gkj T ... ~ ... j betrachtet, die allgemeine Tensor- 44 3 Tensoren Transformationsregel: T ... j' ... -- aj'k T ... k ... ' T- · · i' · · · = aki, T- ·· k.. 2/5) gehorchen. 3/19). 2/2) erzeugen in dem Sinne, daß demselben Vektor1 m m-tupel u .... , u derselbe Skalar T zugeordnet wird, gleichgültig, welches Koordinatensystem bzw. welches Isomer zugrunde liegt: . T=T···ll··· I . k I I k uii···=T···k;··gll ~ ... uii ... ;"···u . I k' T=T···ll··· ·· · u. =T··· I··· )I··· · · ·· al 1 , k1 .. )I·..

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